FRACTAL DE PAPEL

A continuación os dejamos un fractal (Triángulo Sierpinski )de papel. Al principio, a simple vista, parecía algo complicado de hacer pero siguiendo unas indicaciones de un video que encontramos en youtube nos resulto de lo más facil.

Otro fractal que realizamos es el siguiente:

ACTIVIDADES

Patrones fractales geométricos Codificar coloreando el triángulo de Pascal

Materiales Copia en blanco del triángulo de Pascal Lápices de colores

Procedimiento

Paso 1: Coloque los valores de los números dados por filas. Las filas están compuestas de la suma de los números arriba, empezando con 1 en la primer casilla y siempre sumando 1 a cada lado. Las filas son los coeficientes de la expansión polinomial (x+1)n, empezando con n = 0 y las potencia de 11, (de 110 to 114).

Paso 2: Coloree los números impares y observe el patrón que se genera.

Paso 3: Empiece de nuevo y coloree los múltiplos de 3, o los de 5, o 9.

Patrones fractales geométricos Curva de Koch (curva de Copo de nieve) Uno de los más sencillos y más elegantes que conozco. Paso 1: Un triángulo equilátero inscrito en un círculo (no mostrado) es la primera iteración de este patrón. El largo de cada lado es 1, el perímetro = 3. Paso 2: Divida cada lado del triángulo en 3 partes iguales y dibuje otro triángulo equilátero en el segmento central. Así resulta una estrella de seis esquinas como segunda iteración. Su perímetro = 3 x 4/3 Paso 3: En la tercera iteración del patrón, P = 3 x 4/3 x 4/3. Teóricamente usted puede repetir los pasos, dibujando triángulos equiláteros infinitamente. Siga calculando el perímetro. Lo interesante es notar que el perímetro sigue creciendo, conforme el copo crece, mientras que el área no sobrepasa la del círculo exterior     Patrones fractales geométricos El triángulo de Sierpinski Paso 0: Dibuje un triángulo equilátero cuyo lado mida 8 cm. Paso 1: Conecte los puntos centrales de cada uno de los lados entre sí. La línea interna medirá =4cm. Paso 2: Coloree todos los triángulos con la punta hacia arriba, para difenciar su orientación. Paso 3: Divida nuevamente, como en el paso 1, siempre desde los lados exteriores. Las nuevas líneas internas miden = 1cm. Coloree los triángulos con la punta hacia arriba. Observe que el triángulo interno queda vacío. Paso 4: Divida nuevamente. Coloree los que quedan orientados con la punta hacia arriba. ¿Cuánto miden los lados de triángulos más pequeños?

Para saber más...

¿Sabías que un fractal es irregular? Es decir, a pesar de que lo ampliemos sigue siendo irregular ya que es una figura que mantiene su forma original

A cntinuación os dejamos un vídeo donde se muestra la irregularidad de los fractales:

Los fractales en las aulas... ¿Cómo?

Lamentablemente, la geometría que se enseña en las escuelas sólo sirve para explicar las realizaciones humanas, pero la naturaleza sigue otro tipo de patrones geométricos que pasamos por alto y es llamada  geometría fractal.

Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras, o los copos de nieve son fractales naturales. Si vemos un pino a lo lejos estaremos viendo la misma estructura que si observamos cada una de sus ramas, hasta la más pequeña de ellas.

Y los niños en seguida perciben eso. Ciertamente, si realizamos con ellos aproximaciones a los fractales, sus conocimientos geométricos mejorarían considerablemente y acabarían buscando fractales por todos lados. 

Música fractal

Sabemos que un fractal es la iteración de una expresión algebraica simple.  Cada imagen fractal está formada por infinitos puntos del plano (lo que en computación es virtual, ya que si un ordenador representara un fractal como es, colapsaría). Si a cada punto asociamos una nota musical, obtendremos lo que conocemos como Música Fractal.
Ahora bien, si son infinitos puntos del plano, ¿entonces son infinitas notas?. Pues no. Sabemos que geométricamente un fractal se genera en base a un patrón o generador. entonces el resto de la imagen son el mismo generador de formas espaciales indistintas (ubicadas en distintos espacios, quiere decir). Por tanto, podemos decir que existe un patrón de puntos congruentes entre sí que generan el fractal, a los que, por estar determinados, podemos asociarles notas musicales determinadas.
Pero si un fractal es "infinito" en puntos, ¿entonces la melodía es infinita?. Pues sí.
Notas y Ritmo: discordancia musical
Los programas diseñados actualmente no poseen la tecnología suficiente como para producir la música de diversos fractales. Al contrario, se enfocan a una clase específica de fractal (muy conocidos son los del tipo de Lorenz).
Este nuevo avance está aún en fase de crecimiento. La música fractal apenas si puede emitirse a través de controladores de sintetizador MIDI. Eso nos da una idea de lo que se puede conseguir. Aún así, el mayor problema es que la música fractal no tiene ritmo. O por lo menos, así lo parece.
Hasta ahora,  se ha incursionado muy poco en la música fractal. Las composiciones (por ejemplo, la que estamos escuchando) muestran que los algoritmos pueden ser utilizados tanto para crear música como para hacer raras imágenes como las mostradas en la galería de Arte Fractal.

Fractales en la naturaleza.

Helechos

Caracoles

Colmenas de abejas.

Coníferas

Copos de nieve

Tipos de fractales

Algoritmos de escape

La figura 1 es un fractal de Mandelbrot, y se genera mediante un algoritmo de escape. Para cada punto se calculan una serie de valores mediante la repetición de una formula hasta que se cumple una condición, momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la inestimable ayuda del ordenador.
Una característica especial del fractal Mandelbrot (y de otros tipos afines) es la de generar un infinito conjunto de fractales, ya que por cada punto se puede generar un fractal tipo Julia, que no es sino una ligera modificación en la fórmula del Mandelbrot.
En este mismo sitio, la sección Mundo Mandelbrot está íntegramente dedicada a este legendario fractal.

Funciones iteradas

El sistema de funciones iteradas (IFS) es un método creado por M. Barnsley, basándose en el principio de autosemejanza. En un fractal IFS siempre se puede encontrar una parte de la figura que guarda una relación de semejanza con la figura completa. Esa relación es a menudo muy difícil de apreciar, pero en el caso del helecho (imagen 2) es bastante clara: cualquier hoja es una réplica exacta de la figura completa.

Lindenmayer y Sierpinski

La idea es sencilla y antigua. Un triángulo en el que se aloja otro, uniendo los puntos medios de cada uno de sus lados. Esto se repite con todos y cada uno de los triángulos formados que tengan la misma orientación que el original, y así sucesivamente. Quizá se pueda explicar de otra forma, pero lo mejor es verlo en la animación de la figura 3.
El triángulo de Sierpinski es uno de los pocos fractales que se puede dibujar con exactitud sin ayuda de un ordenador, siguiendo las instrucciones anteriores. En área fractal, el artículo Koch y Sierpinski detalla más aspectos de este tipo de curvas.

Órbitas caóticas

Cuando estudiamos en el colegio el sistema solar nos dijeron que los planetas describían órbitas elípticas. Como en todo, eso es cierto sólo hasta cierto nivel. El atractor de Lorenz se consigue llevando esa incertidumbre hasta el extremo. La imagen 4 es una representación bidimensional y coloreada de esa figura. Básicamente está formada por un hilo infinitamente largo que va describiendo una trayectoria tridimensional acercándose y alejándose de dos puntos de atracción.
Este tipo de modelo nació con un estudio sobre órbitas caóticas desarrollado por E. Lorenz en 1.963.

Aleatorios y celulares

Ciertas categorías de fractal no encajan del todo dentro de las características que hemos descrito en algún otro sitio. Estructuras como el plasma o las imágenes de difusión (figura 5) dependen en cierta medida del azar, por lo cual son únicas e irrepetibles.
Los autómatas celulares están en el otro extremo. Funcionan con sencillas reglas que colorean zonas a partir del color de las adyacentes. Pese a que en principio pueda parecer que las imágenes conseguidas con este método vayan a ser sencillas y simétricas, no tiene por qué ser así, como se demuestra en la imagen 6.

                                                Mandelbrot

Helecho de Barnsley

Triángulo de Sierpinski

 Atractor de Lorenz

 Difusión

Celular

Más sobre arquitectura fractal...

A continuación colgamos una noticia sobre la arquitectura fractal que la verdad nos pareció muy importante  para seguir aprendiendo más sobre la misma. El título es "Arquitectura de los fractales" y pertenece a una revista del sector llamada "Arquitectura y naturaleza". Esperamos que os guste y os aporte más conocimientos sobre este apasionante tema.

Arquitectura fractal

Ya hemos hablado de la geometría fractal, de el arte fractal... y ahora vamos a hablar de la arquitectura fractal, y es que como ya dijimos los fractales son muy polifacéticos. 

En arquitectura el concepto de fractal puede apreciarse en estilos tales como el gótico, donde el elemento determinante era el arco apuntado, y dónde se observa una secuencia en los elementos de la fachada. Un ejemplo sería la Catedral de Reims. 

Pero este tipo de arquitectura, es decir, la que emplea los fractales, es una arquitectura que maneja un lenguaje matemático complejo más rico que un conjunto de figuras, siendo algunas de sus características el empleo de formas no regulares, rompimiento de los cánones establecidos, una geometría no euclidiana, además, se puede explotar la imaginación hasta el infinito.

Aquí os mostramos algunos de los ejemplos más significativos:

Diseño del Palacio de Congresos de Lanzarote

Catedral de Reims

¡Fractales animados!

Como ya hemos dicho, la fascinación que despiertan los fractales no solo es matemática, sino también estética.  De esta forma nacen los "fractales animados" que no es nada menos que la combinación perfecta entre las matemáticas y la animación. 

Además, y como veréis posteriormente en el vídeo que os subimos, en ocasiones son acompañados de una música suave que crea tras el visionado de la misma un estado de relajación. Por lo que existen un gran número de estas composiciones. 

Echarle un vistazo. Esperamos que al verlo os quedéis tan impactadas y relajadas como nosotras.

Más curiosidades sobre el arte fractal...

Os colgamos más curiosidades sobre el arte fractal:

•  Si sois de los que tenéis infinidad de cosas y ya no sabéis donde guardarlas aquí os presento un mueble que sin duda será la envidia de vuestros invitados…

                                       

Fractal 23… es un ingenioso e impresionante mueble que, para ser utilizado, ha de ubicarse en el centro de la habitación… que ¿por qué? Ahora lo averiguareis...

Sin duda un gracioso mueble fractal dónde podremos guardar todo lo que nos apetezca...

Galería de arte fractal:

A continuación mostramos algunas obras de arte fractal, aunque decir que solo es una pequeña muestra ya que este tipo de arte cuenta con numerosas obras por lo que sí os sigue interesando el tema podéis recurrir a google y allí encontraréis infinidad de obras:

      

Os  dejamos además en enlace de la página web del artista fractal Jan Rivero para que sí estáis interesados podáis mirar algunas de sus fascinantes obras.

http://www.destinofractal.com/